雑感

書くことをサボってきた人が何か書く

2015/10/28 オイラーの等式

昨日に引き続き、物理数学の直観的方法をちょっと読み進めた。

昨日書いた積分に続いて、テイラー展開行列式固有値と紹介されたのちに出てくるのがオイラーの等式 {\displaystyle
 e^{i{\pi}}=-1
} とか {\displaystyle
e^{i{\pi}}+1=0
} とか書く

でまあこの式の何に注目するかといったらそりゃネイピア数 {e}虚数単位 {i}。 これらに共通するものは演算によって理解できるという点、ネイピア数は微分係数虚数は積。

で、これをどう理解するかというと、まず時刻 {t}の位置が(数直線上で)

 {f(t)=e^{\alpha t}}

で表される点をイメージする。
初期値は {t=0}を代入すればよくて1。そこからその点が動くのだけれど、その速度 {v(t)}はと言われたら {t}微分すれば良いから

 {v(t)=\alpha e^{at}}

 {\alpha}が正ならば速度は常に正であり、1から始まって原点からずーっと遠ざかっていくようなイメージになる。

次に {e^{-\alpha t}}を考える。速度は {-\alpha e^{-\alpha t}}。 初期値は同じく0。速度が負なのでさっきとは逆向き、つまり原点に近づいてくる。しかし指数部分が負であるので速度がどんどん小さくなってきて、0にたどり着くことはできない。

次はついに {e^{i\alpha t}} 速度は

{\displaystyle
v(t)=i\alpha e^{i\alpha t}
}

となり、さあこれをどう理解するという問題になっていくのだが、ここから先は複素平面書いたりしないと説明がやや辛くなってくるのでここで終わり。

文章だけで書いておくと、
虚数が出てくるので点は複素平面上で動くことになる。で、どの方向にどんな速度で?ということが問題となるのだが、結果的に原点からその点へ向かって伸ばした直線に対して垂直となるような方向になる。
つまり、点は円を描くような軌道を通る。んで、その時にスタートから虚数軸を挟んで反対側になる-1まで移動するのにかかる時間が {\pi}になるのでそこでオイラーの等式が現れるといった感じ。 気になる人は買いましょう(アフィ)。

{
\LaTeX
} のテストを兼ねて書いてみた。問題なく使えているみたいで良い(プレビュー重いのがちょっと辛いけど…)。